倒a是什么数学符号-胡说数学：数学概念，数学思想方法，胡说数学三板斧，数学学习！

温馨提示：这篇文章已超过660天没有更新，请注意相关的内容是否还可用！

胡说数学三板斧，画图列表设字母

数学学习，学什么？

数学概念，是追根溯源，讲透数学，刻在孩子心中，问题讲的透，孩子心中无疑问，有留痕。

数学思想方法，以知识为载体，思想为依据，方法为具体实操，把数学问题串起来，学会一个方法解决一类问题。

胡说数学三板斧，画图列表设字母，属于数学工具课，让孩子建立使用数学工具的习惯，这是胡老师的招牌课，也是我的一种理念。

数概念往下深挖，数学思想往上延伸，用胡说数学三板斧数学工具呈现出来，好比一个铁三角，当然要解决问题，阅读能力也很重要，读不懂题，一切为0，所以怎么读题，也会渗透其中，数学是一种语言，既然是语言就需要以不同的方式组表达，演绎。

1.胡说数学数学概念

数学中有很多问题，都是没有固定定义的，比如数学概念，数学思维等，在不同的时代背景，不同的数学专家，数学家眼中都会有不同的定义，也会随着人类生活生产的发展，进行不同角度的阐述，所以，针对这些问题我们也没必要非得追问数学思维是什么？什么是数学概念？什么是数学？但是，我们要明白其内在的原理，道理以及功用。

数学是由概念之砖构成的大厦，当然老师只有科学地认识所教学的每一个概念的源头与流向，才能有意识的从发展学生的能力上进行建构。

之前我说过，数学概念是先人遗留下的数学财富，我们既需要继承发扬，也需要重新理解，升级，提炼，结合当下赋予它新的含义。

学习数学概念一定是本质的，而不是背诵其形式化的，套路化的公式，我们只需要经常问自己三个问题：为什么（Why）?,是什么（What）？,怎么样（How）?

为什么：为什么学习这一概念？其产生、发展的来龙去脉是什么？它在数学上，生活上有什么用？

是什么：任何一个数学概念都有其内涵与外延，要理解其内涵是什么？外延是什么？其背后蕴含的数学思想方法是什么？

怎么样：这个概念与其他概念之间有什么联系？怎样建构概念图？怎么运用这些数学概念解决问题？

【自然数与十进位值制记数法】

我们现在所熟悉的，也是全世界通用的记数方法叫做印度一阿拉伯记数法，最初是由印度人发明的，后来传入阿拉伯国家，其间经过了数百年的演变，大约在公元16世纪才形成当今国际通用的记数法.

在欧洲人的印象中，这种记数法来自阿拉伯国家，所以把它叫做阿拉伯记数法，相应的数字符号就叫做阿拉伯数字.而这个名称一直沿用至今。

阿拉伯数字表示数的方法的伟大之处在于用有限的十个数字符号表示出了无限多的数.

而实现这一点的办法叫做“位值”，意思是说同一个数字符号放在不同的位置可以代表不同的值.比如：888中的左起第一个8代表800，第二个8代表80，第三个8代表8个1，同样的8在不同位置就有不同的取值.这个含义可以用一个等式来表达:888＝8×100＋8×10＋8×1.

“计数单位与其个数乘积的累加就得到全部数”。自然数因为是“十进位值制”的，所以计数单位是“1，10，100，…不同计数单位与其个数的累加就构成了全部的自然数（某个计数单位的个数为“0”时，也要写出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034＝2X1000＋0×100＋3×10＋4×1。

小数也如此，增加小数的计数单位“0.1，0.01，0.001…”后，其累加的过程与自然数的过程基本相同，只不过有“有限次累加”与“无限次累加”两类，有限次累加就得到“有限小数”，无限次累加又分为“两种情形”，其一是，小数部分不同计数单位的“个数”是有规律地出现的，例如，小数的计数单位的个数都是“3”，则这个小数是0.3的循环，也就是1/3，如果小数部分各个计数单位的个数的情况复杂，没有规律，则无限次累加的结果是无限不循环小数”，即是无理数（无限不循环小数）。

认识分数的两个关键要素就是“分数单位（1/n）”和单位个数(m个)”，即分数单位的“分母”是平均分的“份数”，分子是“1”，其他分数的“分子”就是“分数单位”的“个数”。分数单位同自然数的计数单位本质是一致的，但因为分数单位是随着单位“1”被等分的份数的变化而变化，不像自然数（一、十、百、千、万等）或小数的计数单位（十分之一、百分之一等）那样固定计数单位是有限数，各个单位之间的关系又都是“十进”的。

因此从分数单位角度看，学生理解“分数”就比较抽象和困难，任何一个分数都有无数多个“分数单位”，分数单位不同其所对应的“个数”就不同，但两者的乘积是一样大的。

另一方面，现实生活中的“数”与“量”都用自然数或者特殊的十进分数有限小数表示，而不用分数表示“量”的大小。除了自然数外学生更认可“小数”是个“数”（从数的意义上看，小数与自然数的血缘关系更“亲近:都是十进制、位值制的）

进一步可以说，任何一个分数都是一个“类”，其中最简分数是这个类的“代表”，例如1/2可以说是“1个2”，或者“2个4”，甚至“16个32”等。即1/2＝2/4＝3/6＝4/8＝…，其中1/2是这个“类”的代表.

因此，张奠宙教授认为:分数等价类中的每一个表示（分数），各有各的用处，都有其特定的价值。分数的这个特点，既有学习难度，又有思想高度，是一个重要的数学思想方法。从计数单位以及计数单位的个数的角度来认识“数”，不仅有助于理解数的意义，更有助于学生理解四则运算的本质。例如加减法的本质就是“相同计数单位个数的加、减”，据此我们就可以把握“异分母分数加减计算时要通分”的本质:通分的本质就是寻找两个分数的相同计数（分数）单位。

【分数的概念理解】

如果我们提问孩子：什么是分数？

孩子的回答估计都是统一的：“把一个整体平均分成若干份，取其中的一份或几份，叫分数”。

这种回答，是流于表面的，形式化的，僵硬的，对于6年级的学生而言，从3年级到6年级，对于分数的理解仅仅是这一种从层面肯定是不透彻的。

1.表示分数的模型：

如：1/2,2/5，五分之三等这样的数，代表分数概念的符号或者语言。分数的产生于生活离不开，也就是说分数起源于“分物”，这种行为就是平均分物。而不是从定义（b/a）入手的。我们需要先关注整体与部分之间的关系，用一个新的数学符号表示，建立行为与符号之间的对应关系，这样才形成分数的初步概念。

从行为的角度看，分数除了平均分外，测量也是认识分数的重要途径。从分率的角度（整体与部分）是教材认识分数的开始，如果从测量的角度认识分数，则是从“量”的角度理解分数。

我们知道，自然是注意用于“数”个数，即数“离散的量”的个数；当测量“连续的量”（比如：长度，面积……）时，首先选定度量单位，数数有多少个度量单位，当不能数尽，为了得到更精确的值，我们可以分割成更小的度量单位……

（1）分数的面积模型：用面积的“部分与整体”表示分数：

这些直观的模型就是分数的面积模型，表示整体与部分之间的关系。

但是越形象直观的，往往越有局限，比如，孩子不能理解大于整体1的分数等。

（2）分数的集合模型：用集合的“子集—全集”来表示分数：

这也是部分—整体的一种形式，与分数面积模型联系密切，几乎没区别。但是理解难度更大，关键的一点“单位1”不再真正是“1个整体”了。而是把几个物体看成1个整体，作为单位1，所取的一份也不是一个，可能是几个作为一份。

学生对离散的集合的“部分—整体”的理解，不如对“面积模型”的理解，但是随着年龄增长与认知水平提高，这种差别并不明显。

但是，分数的集合模型，对于假分数容易产生误解：谁作为整体1，这既是认识分数的一个核心，同时也是难点。

（3）分数的“数线模型”：数线上的点表示分数；

分数的“数线模型”就是用“数线”上的点表示分数。它把分数化归于抽象的数，而不是具体的事物，对这个模型的理解需要更高水平的抽象思维能力，甚至初中生就会觉得分数的困难。

“数线模型”与“面积模型”，一个分数可以表示单位面积的一部分，也可以表示单位长度的一部分，前者是二维的，后者是线性的，一维的。

“数线模型”是数轴的前身，是数轴的局部放大或者特殊化，是用“点”来刻画分数。真分数，假分数，带分数用数线模型可以很好的理解。

（4）分数与“除法”、“比”的理解：

3/7可以理解为 7个人平均分3个东西（3÷7），分数是除法的运算结果。分数与除法的相互转化有一个重要的应用：把分数转化为小数或百分数。

当刻画两个量之间的倍比关系时，分数可以转化为比，3/5=3：5，其比值就是3除以5的结果3/5.

从分数产生的三种现实背景（分物，度量，比较中的倍比）出发，可以看出分数产生于量的“倍比”关系。分数概念的核心是量、度量单位（基准量）与量数的基本关系，即：量=度量单位（单位1的量）×量数（分率）。

所以，分数可以表示量的大小，也可以表示分率，具有双层含义，而在理解分数时，分率的理解是至关重要的。

分数是分数单位的累加，是先“分”后“数”的数，分数是个代数概念（ax=b,x是个分数），综合起来看，分数表达：b/a=1÷a×b=1/a×b=b÷a=b:a(一串串起来)。

分数单位相同，比较的是分数单位的个数（份数），比如4/5和3/5，即是4个1/5与3个1/5的比较，比较的是4和3；

分子相同，比较的是1份的大小，也就是分数单位，比如：5/2与5/3，5/2=5×1/2,

5/3=5×1/3，比较1/2与1/3即可。

1.四则运算的意义：加减乘除的意义，内在逻辑

2、数学概念挑战题：

2.胡说数学思想方法

核心素养已成为教育界的热门话题，一个很重要的原因是，这次修订高中课程标准特别突出核心素养。每一个时代背景下，对学生的培养目标也是不一样的，在这个新的时代，信息爆炸的时代，知识不重要。

本着“以人为本”的教育理念，培养具备核心素养的未来人。数学是基础教育的重要学科之一，通过基础教育的数学教育，我们培养的终极目标：“会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。”

有的学者说：“数学思想”是将具体的数学知识忘记以后剩下的东西。数学基本思想主要指数学抽象的思想，数学推理的思想，数学模型的思想。

较高层次的数学思想（抽象，推理，模型）又演变、派生发展其他较低层次的数学思想，比如抽象思想派生出：符号化，分类，集合，对应，有限与无限，变中有不变的思想。

推理派生出:归纳推理，演绎推理，化归思想，数形结合思想，代数思想等。

模型思想派生出：方程思想、优化思想、统计思想，简化思想，量化思想。

数学方法一般指用数学解决问题时的方式和手段，比如：代换法，分类讨论法，分析法，综合法，反证法，枚举法，画图法，列表法，倒推法等。

数学方法和数学思想既有区别又有联系，数学思想是数学方法的进一步提炼和概括；数学思想的抽象概括要高一些，而数学方法的操作性更强。实现问题解决数学思想往往要靠一定的方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。

1、有关数学抽象：

数学的眼光就是数学抽象，抽象是从许多事物中舍弃个别的，非本质属性，得到共同的，本质属性的思维过程。抽象是由层次性的，第一阶段的基于现实的，是感性到理性的思维过程；第二阶段是基于逻辑的，解释数学概念以及概念之间关系，符号化，形式化，公理化；第三阶段从理性具体上升到理性一般的思维过程。

第二次抽象更加严谨，但是第一次抽象更为本质，因为第一次抽象创造出了新的概念、运算法则和基本原理。而第二次抽象只是更加严谨地解释这些创造。

数学的威力就在于它的抽象性：越撇开内容，就越有广泛应用的可能；全部的数学都是抽象的产物，数学中的任何一个概念，一个数，一个算式，一种运算，一条法则等，都具有抽象性，就连最简的数字1都是抽象的产物。一个人，一条狗，一棵树，舍去质，留下量，抽象为数“一”，并用符号“1”表示。

国内数学教育家史宁中教师认为，就抽象的深度而言，大体分为三个阶段：简约阶段，符号阶段和普适阶段。

【案例】小明家距离学校500米，小丽家距离学校800米。小明家距离小丽家的距离？

简约阶段是把握事物的本质，把复杂问题简单化，条理化，能够清晰地表达。

简约：可以把学校，小明家，小丽家看作三个点，小明家在以学校为圆心，半径为500米的圆上，小丽家在以学校为圆心，半径为800米的圆上，那么小明家和小丽家的范围是什么？

符号阶段是去掉具体的内容，利用概念，图形，符号，关系进行表达；上述问题我们用图形和关系表达（如下）：

普适阶段指的是通过假设，推理建立法则，模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物。

在抽象的过程中，我们用了“数形结合”，“分情况讨论”的方法，其实数学思想是数学方法的依据，在做题过程中，我们体现的是数学方法的实操。

1、符号化思想：

2、分类思想：

3.集合思想：

4.变中有不变：

5.有限和无限思想

数学的思维是推理，按照通常理解，一般分为“形象思维，逻辑思维，辩证思维。”数学依赖于的是逻辑思维，具体通过推理。通过推理，理解数学研究对象的因果关系，并用抽象的术语和符号描述这些关系，形成命题和运算结果。

我们经常用的逻辑推理，一种是归纳推理，一种是演绎推理。

归纳推理是命题的适用范围由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理。从经验出发推断未曾经验过的东西；除去通过计算得到的结果之外，数学结论都是通过归纳推理得到的。也就是说数学是“看”出来的，而不是“证”出来的，虽然看出的数学结果不一定准确，但指引了数学研究方向。

演绎推理的命题适用范围由大到小的推理，是从特殊到一般的推理。

演绎推理包括三段论，反证法，数学归纳法，算法逻辑等。人们借助演绎推理，按照假设前提和规定的法则验证那些通过归纳推理得到的结论，这便是数学“证明”。通过证明能够验证结论的正确性，但不能使命题的内涵得到扩张。也就是说演绎推理能保证论述的结论与论述的前提一样可靠，但不能添加新的东西。

1.归纳推理：

2.类比推理：

3,演绎推理

三段论：

大前提：偶数能被2整除

小前提：已知N是偶数

结论：所以，N一定能被2整除

4.转化思想：化抽象为直观

5.转化思想：化繁为简

6.转化思想;化实际问题为特殊数学问题

7.转化思想：化未知为已知

8.转化思想：化一般为特殊

9.数形结合：

10.几何变换思想

11.代数思想

12.极限思想：

数学的语言是数学模型，数学模型侧重于数学创造出来的概念，原理和方法。描述现实世界中那些规律性的东西。通俗一点，数学模型是用数学语言讲述现实世界中与数量、图形有关的故事。数学模型使数学走出了自我封闭的世界，构建了数学与现实世界的桥梁。

数学模型的出发点往往不是数学，而是要讲述的现实世界中的那些故事；构建数学模型大致流程：从两个出发点开始，规划研究路径，确立描述用语、验证研究的结果，解释结果的含义，从而得到与现实世界相容，可以用来描述现实世界的数学表达。

1.行程问题：s=vt模型：

2.鸡兔同笼：ax+by=c

3.抽屉原理:a÷b=q……r

1.方程思想

2.函数思想

3.优化思想

4.统计思想

5.随机思想:

思想方法挑战题：

3.胡说数学三板斧数学工具

数学是知识的工具，亦是其它知识工具的源泉。---笛卡尔

人是万物的度量者，就需要工具，没有工具人类无法征服世界；

工具是用来解决问题的，我们平时出行需要交通工具；在厨房做饭需要厨具；修理一些机械，需要扳手，钳子之类的工具等等。

数学是一种强大的可信度最高的解决问题的工具！

胡说数学三板斧，画图列表设字母。很多孩子看到题，努力回忆这是什么题型，有没有学过这道题，这样的学习方式属于记忆性，会随着知识的累积越来越差。

所以，如果我们看到题目之后，把注意力集中在找题目背后的数学关系与结构，通过画图，列表的方式呈现出来，进而利用符号或者字母来表示，最终解决问题。

1、画图：画图的方式很多，示意图，数线图，矩形图，思维导图等，画图是孩子的天性，通过画图理解题意，把文字与图形背后隐含的含义凸现出来，画图的方式也是有层次的，往往越具体形象的图形越局限，越抽象的图形越一般化，适合更广。

因为太形象的东西只是进行了化繁为简的简单加工，属于第一层面的抽象，比如实物图；往后第二层面的抽象更加严谨，用符号图形表示，比如示意图，线段图，矩形图等；第三层面的抽象更具有普适，变为一种程度，规则等，比如思维导图，流程图，函数图等。所以，我们需要根据题的情况去选择适合的图形表达题意，当然我们的目标是掌握从低阶到高阶的方法，不仅仅是画图。

上面这个题目，左边的图形和右边的图形比较，第一个更加形象直观，但是第一个比第二个局限性强，当碰到数据比较大的时候，画这幅图所花费的时间精力也是最大的，甚至有的学生理解不透彻，如果鸡兔同笼100头，恐怕还真的画100只……呵呵。

从上面这幅图能看出来，老师表达的意思，就是图形的抽象的层次性，面积图和线段图当碰到次数多的时候，有局限性，越直观的越随着复杂的变化而束手无策，只凭借想象是不行的。第三个图形是流程图，按照一定的程序进行计算，重复的部分可以不用画出来，只需要知道乘几次2即可。

2、列表：列表格的方式，使我们更加立体的知道这个题目的已知条件，未知条件，隐藏条件，用分类的方式快速找到解决问题的关键。

从上图可以看到，列表格真的是帮了大忙了，相对有难度的行程问题，孩子仅仅靠想象是搞不懂的，所以我们要求孩子画线段图呈现运动的过程，但是线段图在行程问题中称之为“路程图”，体现的是路程这个单一的条件，时间和速度是没有办法呈现，虽然我们告诉孩子吧速度和时间标记在线段上，但是我们无论在视觉还是感觉上都会有所偏差的。

所以，我说表格（呵呵，我上课说成表哥）真是帮了大忙了，因为我们把“文字”抽象成线段图，然后把线段图转化为“表格”，这样就解决了3个量（s，v,t）呈现的问题，不仅仅能呈现，而且路程，速度，时间哪个是已知，哪个未知，哪个隐藏了，已知未知之间的关系自动呈现出来了，这个时候如果我们用算术法，就从已知条件入手，去组合我们需要的即可；当然，我们用方程更方便，你看哪几个地方空了，就选择一个关键未知量设未知字母x，然后列方程即可。

而且，我们在解决问题的时候，一定要学会自言自语，也就是自己和自己对话，比如行程问题，就三个条件，你就来个“行程3问”：问路程，问速度，问时间；我做个示范，大家可以跟着学：“路程知道吗？不知道？真不知道吗？一点都不知道吗？甲的路程和乙的路程有关系吗？”

就这样，时间、速度也是如此问，问完了，思考一下从哪入手。

3.设字母，当然不能仅仅理解为用字母表示数，还有方程，函数等，这些都是解决问题的工具，所以，在胡老师这里，设字母是个大概念，不仅仅是小学；

用字母表示数，是代数的基础，但是最初肯定不是用字母来表示数的；人类最初的发展，从算术到代数经历了一个漫长的时间。

用字母表示数的意义我们需要知道并理解，才能使我们解决问题事半功倍。

1、用字母可以表示任意数：比如a+b=b+a运算律，s=vt数学模型等，可以不受约束，是自由的。

2、用字母表示数可以表示一类：比如3a（a是自然数），表示什么，a的3倍，也就是3的倍数，一个一个数3的倍数数不完，所以我们用3a把它的这一类概括进来。

3、用字母表示不确定的数：比如一盒巧克力放在你面前，你不知道它是多少，除非你数过，但是我们也没必要瞎猜，不放设字母a，然后表达或者计算它，当然确定的物体一般情况下我们虽然不确定，但是巧克力是有范围的。

4、给字母附值：比如，a+5=8,a=?

5、忽略字母的意义：a+b=43,问a+b+2=?这里和a,b意义无关，只是一个过渡。

6、把字母当作变量：比如：2n和n+2，哪个更大？请做出解释

上面这道题，鸡兔同笼模型，其实本质是“□×□+□×□=□”，这5个□有三个已知量，两个未知量的和是8.当然也可以把数学结构看作是：a+b=8,6a+4b=38，方程是一个数学工具，同时也是数学概念，知识，我们在这里倾向于看作数学模型（工具）。

对于小学生而已，设字母的导向就是方程，所以我们不妨思考一下：

小学数学有数量符号（0--9），未知常量（a,b,c等），变量（x,y,z等），圆周率π；

有运算符号：加号（+），减号（－），乘号（×），除号（÷），比号（：），乘方；

关系符号：＝，＞，＜，≥，≤，≈，≠，垂直（⊥），平行（∥）；

结合符号：小括号（），中括号[ ]，分数线；

性质符号：正号（+），负号（－）；

而这些符号都能帮助我们建构数量关系，但是针对方程而言，我们所用符号不多，相对有限，简单；a+b=c,a×b=c,ax+by=c,把这三个结构结合题目认真思考，你会发现一般情况都属于这三个数学模型。整体与部分的关系（a+b=c），倍比关系（a×b=c）,组合关系（ax+by=c）,所以，多题一解，适合于方程的训练。

比如：2x+3=21,这个方程背后有无数个符合式子的故事，可以理解为一个故事只对应一组方程，但是一个方程对应无数个故事。

方法之间往往本质相同，背后的算理一样，只是呈现方式不同，解决一道题，不同的方式给人的感觉不一样，但是我们要重视的不仅仅是呈现方式，呈现方程就是工具的不同而已，但背后的原理要搞清楚。

1.一题多“画”或多题一“画”

2.画矩形图（这个平时感觉多，但孩子用的少）：

面对一个问题的时候，我们要做的事情就是解决它，但是想要解决一个问题，也是需要有一定的策略的。所以，一般情况下，我们遵循解题原则是：

第一，你必须理解题意。

未知量是什么？已知数据是什么？

拿起来一张纸，画一幅图，或者列一张表格，适当引入字母。

不用理会他属于什么类型的题，就画出来，列出来，表达出来背后的数学关系就好了。

第二，找出已知数据与未知量之间的联系。

如果找不到直接的联系，考虑辅助元素或者把新问题转化为旧问题；

真不行，能解决多少是多少？走一步看一步，有可能会柳暗花明；